\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{弹性力学小结}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6 \linewidth]{Summary2}
		\caption{a. 材料, b. 其中一个微元体. 黑色线代表变形前的材料，蓝色线代表变形后的材料。}
		\label{fig:summary2}
	\end{figure}
	在弹性力学中，我们想象把材料切成很多小块，称为“微元体”，然后研究每个微元体。
	\subsection{基本物理量}
	\footnote{本文使用AI辅助。}
	弹性力学使用位移$u$、应变$\varepsilon$ 与应力$\sigma$ 作为基本物理量。
	\begin{itemize}
		\item 位移$u$($3$个分量) :
			\begin{equation}
				\bvec u = (u_1, u_2, u_3)^T
			\end{equation}
			位移反应了变形前后各个微元体顶点的移动。
		\item 应变$\varepsilon$($6$个分量)
			\begin{equation}
				\text{张量记法：}
				\bvec \varepsilon = 
				\matrx
				{
					\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
					\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
					\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
				}, \varepsilon^T = \varepsilon
				\qquad
				\text{向量记法：}
				\bvec \varepsilon = 
				\matrx
				{
					\varepsilon_{11} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{33} & \varepsilon_{23} & \varepsilon_{13} & \varepsilon_{12}
				}^T
			\end{equation}
			应变反应了变形前后微元体形状与体积的改变。有时定义工程切应变$\gamma_{ij}=2\varepsilon_{ij}, i\ne j$。
		\item 应力$\sigma$（$6$个分量）
				\begin{equation}
			\text{张量记法：}
			\bvec \sigma = 
			\matrx
			{
				\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
				\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
				\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\
			}, \sigma^T = \sigma
			\qquad
			\text{向量记法：}
			\bvec \sigma = 
			\matrx
			{
				\sigma_{11} & \sigma_{22} & \sigma_{33} & \sigma_{23} & \sigma_{13} & \sigma_{12}
			}^T
		\end{equation}
		应力反应了微元体各个表面上在各个方向上所受“压强”。
	\end{itemize}
	一共是$15$个物理量。
	
	在弹性力学中，坐标轴方向 $x, y, z$ 可以用 $x_1, x_2, x_3$ 表示。
	下标代表方向，如 $u_1$ 表示 $x_1$ 方向上的位移分量。
	根据弹性力学假设，应力和应变是对称张量，因此 $\sigma_{12} = \sigma_{21}$ 和 $\varepsilon_{12} = \varepsilon_{21}$，
	所以应力和应变的独立分量个数分别为 6 个，而不是 9 个。

	在材料内部的不同区域（不同微元体中），应力、应变和位移可能不同，因此这些物理量是关于空间坐标的函数，按照二百年前的时髦话术说，这叫作场，
	例如 $\sigma_{11} = \sigma_{11}(x_1, x_2, x_3)$。


	\subsection{基本方程}
	\begin{itemize}
		\item 应力平衡方程 ($3$个方程)
		\begin{equation}
			\sum_j \pdv{\sigma_{ji}}{x_j} + b_i = 0 \qquad i = 1,2,3
		\end{equation}
		或者使用$\nabla$记号：
		\begin{equation}
			\nabla \cdot \bvec \sigma + \bvec b =0
		\end{equation}
	 	这个方程相当于微元体受力平衡方程，其中$\bvec b$是体力（体力是已知的量）。
	 	在符号约定中，有时使用$,j$下标简写$\pdv{}{x_j}$，表示对$x_j$求导，即$\pdv{\sigma_{ji}}{x_j}=\sigma_{ji,j}$。
	 	
		\item 应变几何方程（$6$个方程）
	 	\begin{equation}
	 		\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(\pdv{u_i}{x_j} + \pdv{u_j}{x_i}) \qquad i,j=1,2,3
	 	\end{equation}
 		这个方程给出了应变的定义。
 		
		\item 弹性本构关系（$6$个方程）
		
 		应变形式：
 		\begin{equation}
 			\varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{ij} -\delta_{ij} \frac{\nu}{E} \sum_k {\sigma_{kk}}
 			\qquad i,j=1,2,3
 		\end{equation}
 		应力形式：
 		\begin{equation}
 			\sigma_{ij} = \frac{E}{1+\nu} \varepsilon_{ij} +\delta_{ij} \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \sum_k {\varepsilon_{kk}}
 			\qquad i,j=1,2,3
 		\end{equation}
 		这个方程给出了应力-应变的弹性关系。
 		$E$是杨氏模量，$\nu$是柏松比，这些是与材料性质有关的材料常数。
 		当$i=j$时$\delta_{ij}$为$1$否则为$0$。
	\end{itemize}
	一共是$15$个方程。这些基本方程以PDE形式联系了上述$15$个物理量，原则上配合边界条件可解出上述$15$个物理量。
	
	\subsection{边界条件}
	上述方程是一组PDE，而我们知道，定解PDE一定需要边界条件。
	一般来说，根据约束的物理量，边界条件$S$分为位移边界$S_u$与外力边界$S_p$：
	\begin{itemize}
		\item 位移边界$S_u$：边界上的位移$u$已知。
		从物理上说，位移边界实则指定了外力大小：此处作用的外力“刚好”能使此处的位移达到预期。
		\item 外力边界$S_p$：边界上的外力$p$已知；
		Cauchy公式联系了边界的外力与应力：$p_i = \sum_j \sigma_{ij} n_j$，其中$n_j$是边界法向量。
		从数学上说，考虑到本构关系，这相当于给定位移的一阶导数。
	\end{itemize}
	位移边界$S_u$与应力边界$S_p$不重复（即不能同时设置同一处的位移与外力），
	并且二者应该完整包裹整个材料（材料的边界处处被定义）。
	$S_u \cup S_p = S, S_u \cap S_p = \oslash$
	
	至此，我们得到了一个原则上完备可解的弹性力学的理论。
	%（
	%	正如同牛顿力学的核心是牛顿三定律，即使抛开动能、能量等概念，牛顿力学也是完备的；
	%	但是动能、能量让部分问题更简单，也让牛顿力学更为深刻。
	%	）
	
	\newpage
	\section{DLC}

	\subsection{一些常数}
	有时会使用其他材料常数以方便实验测量、公式推导或书写。
	当然，理论上来说，各向同性的线弹性材料只需要两个材料常数。
	\begin{itemize}
		\item 第一拉梅常数：$\lambda =  \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}$
		\item 第二拉梅常数；剪切模量：$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$
		\item 体积模量：$K = \frac{E}{3(1-2\nu)}$
	\end{itemize}
	
	\subsection{体积模量的含义}
	可以证明，
	\begin{equation}
		V = V_0 (1+\varepsilon_{11})(1+\varepsilon_{22})(1+\varepsilon_{33})
		\approx
		V_0 (1+\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})
	\end{equation}
	也就是说
	\begin{equation}
	 \frac{V-V_0}{V_0} = \frac{\Delta V}{V_0}
	 \approx \varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}
	\end{equation}
	其中$V$是微元体变形后的体积，$V_0$是微元体原始体积。
	也就是说，正应变导致微元体体积变化，而切应变导致微元体形状变化。
	
	对本构关系中$i=j$项求和，
	\begin{equation}
		\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} = \frac{1+\nu}{E} (\sigma_{11} + \sigma_{22}+\sigma_{33}) - 3
		\frac{\nu}{E} (\sigma_{11} + \sigma_{22}+\sigma_{33})
		 = \frac{1-2\nu}{E} (\sigma_{11} + \sigma_{22}+\sigma_{33})
	\end{equation}
	假设材料受静水压力（只受压应力且各向压力相同）
	\begin{equation}
		\sigma_{11} = \sigma_{22} = \sigma_{33} = \sigma_0
	\end{equation}
	那么
	\begin{equation}
		\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} = \frac{3(1-2\nu)}{E} \sigma_0
	\end{equation}
	或
	\begin{equation}
		\sigma_0 = \frac{E}{3(1-2\nu)} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}) = K \frac{\Delta V}{V_0}
	\end{equation}
	$K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$是弹性力学中体积模量的含义。这与热力学中的定义相符：
	\begin{equation}
		\text{热力学：} K = - \frac{1}{V} \pdv{p}{V}
	\end{equation}

	\subsection{弹性能}
	\begin{equation}
		E = \frac{1}{2} \int_V \sum_{ij} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} \dd V
	\end{equation}
	弹性能源于材料的弹性变形，即材料变形时，外力做功转换为材料的弹性能。
	
	\newpage
	\subsection{虚功与最小能量原理}
	尽管这一部分没有引入新的公式，但是看起来很哲理并且有限元等将大量使用这一结论，因此顺带给出。
	
	我们假设一块材料已达到受力平衡。
	虚功原理表明，如果此时假想材料再变形一点（产生一点虚位移$\delta u$），那么外力做的虚功和与内力做的虚功之和应为零；
	或者说，某种广义能量的虚变化为零 $\delta \Pi=0$，即平衡时广义能量取极值
	\footnote{虽然导数为零不一定意味着极值，但据说有更复杂的方法可以证明这一点}:
	\begin{equation}
		F_{in} = F_{out} 
		\Rightarrow 
		F_{in} \delta u= F_{out}\delta u 
		\Rightarrow
		\delta U = \delta w
		\Rightarrow
		\delta \Pi = \delta U - \delta w = 0
	\end{equation}
	“虚位移”、“虚功”之所以“虚”，是因为这是我们假想的变形，而非真实的变形。
	以下推导假定Einstein求和约定，即一项中相同的下标代表求和，如 $p_i \delta u_i = \sum_i p_i \delta u_i $等。
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta \Pi & = \delta U - \delta w \\
			& = \int_V \sigma_{ij} \delta \varepsilon_{ij} \dd V - \int_S p_i \delta u_i \dd S - \int_S b_i \delta u_i \dd S \\
			& = \int_V \sigma_{ij} \delta u_{i,j}\dd V - \int_S p_i \delta u_i \dd S - \int_S b_i \delta u_i \dd S  \qquad \text{应变的定义}\\
			& = \int_V (\sigma_{ij} \delta u_{i})_{,j} \dd V - \int_V \sigma_{ij,j} \delta u_{i} \dd V
			- \int_S p_i \delta u_i \dd S - \int_S b_i \delta u_i \dd S  \qquad \text{凑全微分}\\
			& = \int_S \sigma_{ij} n_j \delta u_{i} \dd S - \int_V \sigma_{ij,j} \delta u_{i} \dd V
			- \int_S p_i \delta u_i \dd S - \int_S b_i \delta u_i \dd S  \qquad \text{Gauss 公式}\\
			& = - \int _V (\sigma_{ij,j}+b_i) \delta u_{i} \dd V + \int_S (\sigma_{ij} n_j - p_i)\delta u_{i} \dd S \qquad \text{合并同类项}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	由于$\delta  \Pi= 0$，且$\delta u_i$是任意的，因此
	$$
	\sigma_{ij,j}+b_i = 0 \qquad \sigma_{ij} n_j - p_i = 0
	$$
	分别在材料内部与表面处处成立。
	我们发现，从虚功原理可以自动导出材料边界与内部的受力平衡公式。
	
	\newpage
	
	\subsection{Lame-Navier 方程}
	我们上文明确了弹性力学方程是一个PDE方程组。
	但是，以$15$个变量与$15$个方程计的弹性力学方程组有点太复杂了，不利于理解。
	我们希望消去尽可能多的变量以减少方程、物理量个数。
	比较有趣的是Lame-Navier 方程，Lame-Navier 方程中只使用了位移。
	
	先思考$x_1$的情况，即取$i=1$：
	这种情况下，应力平衡方程是
	$$
	\sigma_{11,1}+\sigma_{12,2}+\sigma_{13,3} + b_1 = 0
	$$
	本构关系是(参考上文“基本方程”与“一些常数”)
	$$
	\sigma_{11} = 2G \varepsilon_{11} + \lambda (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})
	\qquad \sigma_{12}  = 2G  \varepsilon_{12}
	 \qquad \sigma_{13}  = 2G  \varepsilon_{13}
	$$
	将本构关系代入应力平衡方程得到：
	\begin{equation}
		2G \varepsilon_{11,1} + \lambda (\varepsilon_{11,1}+\varepsilon_{22,1}+\varepsilon_{33,1})
		+ 2G  \varepsilon_{12,2}
		+ 2G  \varepsilon_{13,3}
		+ b_1 = 0
	\end{equation}
	再代入位移几何方程$\varepsilon_{ij} = 1/2 ({u_{i,j}+u_{j,i}})$
	\begin{equation}
		2G u_{1,11} + \lambda (u_{1,11}+u_{2,21}+u_{3,31})
		+ G (u_{1,22}+u_{2,12})
		+ G (u_{1,33}+u_{3,13})
		+ b_1 = 0
	\end{equation}
	整理上式
	\begin{equation}
		G (u_{1,11} + u_{1,22} + u_{1,33} )
		+ G (u_{1,11} + u_{2,12}+u_{3,13})
		+ \lambda (u_{1,11}+u_{2,21}+u_{3,31})
		+ b_1 = 0
	\end{equation}
	我们假定位移是连续可导的“好函数”，因此我们可交换二阶导顺序$u_{1,12} = u_{1,21}$等，因此
	\begin{equation}
	G (u_{1,11} + u_{1,22} + u_{1,33} )
	+ (\lambda+G) (u_{1,11}+u_{2,12}+u_{3,13})
	+ b_1 = 0
	\end{equation}
	推广到$x_2, x_3$的情况，我们就得到完整的
	Lame-Navier 方程。
	可见，Lame-Navier 方程组是一个二阶方程组，只包括$3$个方程与$3$个物理量（$3$个方向上的位移），形式上大大简化了弹性力学问题。
	\begin{equation}
		\text{L-N方程：}\qquad
		\left \{
		\begin{aligned}
			G (u_{1,11} + u_{1,22} + u_{1,33} )
			+ (\lambda+G) (u_{1,11}+u_{2,12}+u_{3,13})
			+ b_1 &= 0 \\
			G (u_{2,11} + u_{2,22} + u_{2,33} )
			+ (\lambda+G) (u_{1,21}+u_{2,22}+u_{3,23})
			+ b_2 &= 0 \\
			G (u_{3,11} + u_{3,22} + u_{3,33} )
			+ (\lambda+G) (u_{1,31}+u_{2,32}+u_{3,33})
			+ b_3 &= 0 \\
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	或者用$\nabla$算符写为更为紧凑的形式：
	\begin{equation}
		G \laplacian{u_i} + (\lambda+G) \pdv{}{x_i} \div \bvec u + b_i = 0 \qquad i=1,2,3
	\end{equation}
\end{document}





